Question

已知椭圆的方程为，如果直线与椭圆的一个交点M在x轴的射影恰为椭圆的右焦点F，则椭圆的离心率为 ________．

Answer 1

分析：根据椭圆的方程表示出c，得到F的坐标，由直线与椭圆的一个交点M在x轴的射影恰为椭圆的右焦点F得到MF⊥x轴，即F的横坐标与M的横坐标相等，代入直线求出M的纵坐标，把M的坐标代入椭圆方程即可求出m²，利用a²-b²=c²，求出c的值，再求出a根据椭圆离心率e=求出即可．
解答：由椭圆方程得到右焦点的坐标为（，0），
因为直线与椭圆的一个交点M在x轴的射影恰为椭圆的右焦点F得到MF⊥x轴，
所以M的横坐标为，代入到直线方程得到M的纵坐标为，则M（，）
把M的坐标代入椭圆方程得：，化简得：（m²）²+8m²-128=0即（m²-8）（m²+16）=0
解得m²=8，m²=-16（舍去），根据c===2，而a==4
所以椭圆的离心率e===
故答案为：
点评：考查学生会求直线与椭圆的交点坐标，掌握椭圆的一些简单的性质．