Question

（本题满分14分）

设函数（），其中。

（I） 当时，求曲线在点处的切线方程；

（II）当时，求函数的极大值和极小值；

（Ⅲ）当时，在区间上是否存在实数使不等式

对任意的恒成立,若存在,求出的值,若不存在,说明理由。

Answer 1

（本题满分14分）

解：（I）当时，，得，且

，．

所以，曲线在点处的切线方程是，

整理得．            ……………………………………4分

（Ⅱ）解：

．

令，解得或．   由于，以下分两种情况讨论．

（1）若，当变化时，的正负如下表：

因此，函数在处取得极小值，且；

函数在处取得极大值，且．   ………………7分

（2）若，当变化时，的正负如下表：

因此，函数在处取得极小值，且；

函数在处取得极大值，且． ……9分

（Ⅲ）假设在区间上存在实数满足题意.

由，得，当时，

，．

由（Ⅱ）知，在上是减函数，

要使，

只要

即                  ①

设，则函数在上的最大值为．

要使①式恒成立，必须，即或．

所以，在区间上存在，使得对任意的恒成立．                  ……………………………………14分www..com