题目内容

在数列{an}中，a1=2，an+1=3an-2n+1．
（Ⅰ）证明：数列{an-n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式an；
（Ⅲ）求数列{an}的前n项和Sn．
分析：（Ⅰ）由an+1=3an-2n+1．得到：
an+1-(n+1)
an-n
=
3an-2n+1-(n+1)
an-n
=
3an-3n
an-n
=3得到数列{an-n}是公比为3的等比数列；
（Ⅱ）由（1）an-n=（2-1）•3n-1=3n-1，解得an=3n-1+n即可；
（Ⅲ）由an=3n-1+n即可得到Sn=（1+5+8+…+3n-1）+（1+2+3+…+n）求出之和即可．
解答：解：（Ⅰ）因为
an+1-(n+1)
an-n
=
3an-2n+1-(n+1)
an-n
=
3an-3n
an-n
=3，
所以数列{an-n}是公比为3的等比数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得an-n=（2-1）•3n-1=3n-1；
则an=3n-1+n；
（Ⅲ）所以数列{an}的前n项和
Sn=（1+5+8+…+3n-1）+（1+2+3+…+n）=
3n+n2+n-1
2
点评：此题考查学生数列的递推式的能力，数列求和的能力，以及等比关系的确定能力．
练习册系列答案
相关题目
在数列{an}中，
a
 
1
=1，an=
1
2
an-1+1（n≥2），则数列{an}的通项公式为an=
2-21-n
2-21-n
．
在数列{an}中，a 1=
1
3
，并且对任意n∈N*，n≥2都有an•an-1=an-1-an成立，令bn=
1
an
（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{
an
n
}的前n项和为Tn，证明：
1
3
≤Tn＜
3
4
．
在数列{an}中，a=
12
，前n项和Sn=n2an，求an+1．
在数列{an}中,a1=a,前n项和Sn构成公比为q的等比数列,________________.

(先在横线上填上一个结论,然后再解答)

在数列{an}中，a，并且对任意n∈N*，n≥2都有an•an-1=an-1-an成立，令bn=（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{}的前n项和为Tn，证明：．

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