题目内容
设函数f（x）=x+ax2+blnx，曲线y=f（x）过P（1，0），且在P点处的切线斜率为2．
（I）求a，b的值；
（II）证明：
f(x)≤x-1．
（I）求a，b的值；
（II）证明：
| 1 | 2 |
分析：（I）由f（x）=x+ax2+blnx，知f′(x)=1+2ax+
，由y=f（x）过P（1，0），且在P点处的切线斜率为2，知
，由此能求出a，b．
（II）f（x）的定义域为（0，+∞），由（I）知f（x）=x-x2+3lnx，设g（x）=f（x）-（2x-2）=2-x-x2+3lnx，则g′(x)=-1-2x+
=-
，由此能证明
f(x)≤x-1．
| b |
| x |
|
（II）f（x）的定义域为（0，+∞），由（I）知f（x）=x-x2+3lnx，设g（x）=f（x）-（2x-2）=2-x-x2+3lnx，则g′(x)=-1-2x+
| 3 |
| x |
| (x-1)(2x+3) |
| x |
| 1 |
| 2 |
解答：解：（I）∵f（x）=x+ax2+blnx，
∴f′(x)=1+2ax+
，
∵y=f（x）过P（1，0），且在P点处的切线斜率为2，
∴
，
解得a=-1，b=3．
（II）f（x）的定义域为（0，+∞），
由（I）知f（x）=x-x2+3lnx，
设g（x）=f（x）-（2x-2）=2-x-x2+3lnx，
则g′(x)=-1-2x+
=-
，
当0＜x＜1时，g（x）′＞0；当x＞1时，g′（x）＜0．
∴g（x）在（0，1）单调增加，在（1，+∞）单调减少．
∴g（x）max=g（1）=0．
∴g（x）=f（x）-（2x-2）≤0，
∴
f(x)≤x-1．
∴f′(x)=1+2ax+
| b |
| x |
∵y=f（x）过P（1，0），且在P点处的切线斜率为2，
∴
|
解得a=-1，b=3．
（II）f（x）的定义域为（0，+∞），
由（I）知f（x）=x-x2+3lnx，
设g（x）=f（x）-（2x-2）=2-x-x2+3lnx，
则g′(x)=-1-2x+
| 3 |
| x |
| (x-1)(2x+3) |
| x |
当0＜x＜1时，g（x）′＞0；当x＞1时，g′（x）＜0．
∴g（x）在（0，1）单调增加，在（1，+∞）单调减少．
∴g（x）max=g（1）=0．
∴g（x）=f（x）-（2x-2）≤0，
∴
| 1 |
| 2 |
点评：本题考查满足条件的实数值的求法，考查不等式的证明．解题要认真审题，注意导数性质和构造法的合理运用．
练习册系列答案
相关题目
设函数f（x）的定义域为A，若存在非零实数t，使得对于任意x∈C（C⊆A），有x+t∈A，且f（x+t）≤f（x），则称f（x）为C上的t低调函数．如果定义域为[0，+∞）的函数f（x）=-|x-m2|+m2，且 f（x）为[0，+∞）上的10低调函数，那么实数m的取值范围是（ ）
| A、[-5，5] | ||||||||
B、[-
| ||||||||
C、[-
| ||||||||
D、[-
|