题目内容

函数f(x)=
a2-x2
|x+a|-a
为奇函数的充要条件是a∈
（0，∞）
（0，∞）
．
分析：函数为奇函数，可将原函数去绝对值，分子为偶函数，分母为奇函数，符合题意．由此说明x+a的绝对值是本身，且-a≤x≤a，不难得出a是一个正数．
解答：解：当a＞0时，函数f(x)=
a2-x2
|x+a|-a
的定义域为[-a，a]
∴函数f(x)=
a2-x2
|x+a|-a
=
a2-x2
x+a-a
=
a2-x2
x
为奇函数，满足条件
当a＜0时，函数f(x)=
a2-x2
|x+a|-a
的定义域[a，-a]
∴函数f(x)=
a2-x2
|x+a|-a
=
a2-x2
-x-2a
不是奇函数
当a=0时，函数f(x)=
a2-x2
|x+a|-a
=
-x2
x
没有意义
综上可得，a＞0
故答案为：（0，+∞）
点评：本题考查了函数奇偶性的判断与证明，解题中要注意分类讨论思想的应用．
练习册系列答案
相关题目
已知角A是△ABC的内角，向量
m
=(1 ， cos2A)，
n
=(cosA ， 1)，且
m
•
n
=0，f(x)=
3
sin2x+cos2x，
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）求函数f(x+
A
2
)的单调递增区间．
若函数f(x)=
A
2
-
A
2
cos(2ωx+2φ)(A＞0，ω＞0，0＜φ＜
π
2
)，且y=f（x）的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1，2），则φ的值是
 
；f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2010）的值是
 
．
（2007•长宁区一模）设函数f(x)=
a2-x2
|x+a|+a
．（a∈R且a≠0）
（1）分别判断当a=1及a=-2时函数的奇偶性．
（2）在a∈R且a≠0的条件下，将（1）的结论加以推广，使命题（1）成为推广后命题的特例，并对推广的结论加以证明．
已知函数 f(x)=
(a2-1)log2(x+2)，(-2＜x≤0)
ax2+1，(x＞0)
在（-2，+∞）上是单调函数，则实数a的取值范围是（　　）

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