Question

已知函数 f(x)=

(a2-1)log2(x+2)，(-2＜x≤0) ax2+1，(x＞0)

在（-2，+∞）上是单调函数，则实数a的取值范围是（　　）

• A、1＜a≤

  2

• B、1＜a≤

  2

  或a＜-

  2

• C、a≥

  2

• D、a≤-

  2

Answer 1

分析：由函数f（x）在（-2，+∞）上是单调增函数，可得

a2-1＞0 a＞0 0+1≥a2-1

，由此求得a的取值范围．函数f（x）在（-2，+∞）上是单调减函数，则有

a2-1 ＜0 a＜0 0+1≤a2-1

，
解得 a 的取值范围．再把这两个实数a的取值范围取并集，即得所求．

解答：解：若函数f（x）在（-2，+∞）上是单调增函数，则有

a2-1＞0 a＞0 0+1≥a2-1

，解得 1＜a≤

2

．
若函数f（x）在（-2，+∞）上是单调减函数，则有

a2-1 ＜0 a＜0 0+1≤a2-1

，解得 a∈∅．
综上可得，实数a的取值范围是{a|1＜a≤

2

}∪∅={a|1＜a≤

2

}，
故选A．

点评：本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，体现了等价转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．