Question

已知函数f（x）=x²，g（x）=ax+3（a∈R）．
（1）记函数F（x）=f（x）-g（x），
（i）判断函数F（x）的零点个数；
（ii）若函数|F（x）|在[0，1]上是减函数，求实数a的取值范围．
（2）设G(x)=

f(x)，x＜1 g(x)，x≥1

．若对于函数y=G（x）图象上异于原点O的任意一点P，在函数y=G（x）图象上总存在另一点Q，使得

OP

•

OQ

＜0，且PQ的中点在y轴上，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用函数F（x）=f（x）-g（x）求出表达式，
（i）利用判别式的符号，直接判断函数F（x）的零点个数；
（ii）通过函数|F（x）|在[0，1]上是减函数，化简函数的表达式，利用函数的对称轴，以及1处的函数值，列出不等式组，求实数a的取值范围．
（2）通过G(x)=

f(x)，x＜1 g(x)，x≥1

．求出函数y=G（x）的表达式，设出点P的坐标、Q的坐标，通过

OP

•

OQ

＜0，且PQ的中点在y轴上，求出a的取值范围．

解答：解：（1）（i）F（x）=x²-ax-3
∵

△=a2+12＞0，

∴函数F（x）有2个零点． …（4分）
（ii） |F(x)|=|x2-ax-3|=

x2-ax-3 ，F(x) ≥0 -x2+ax+3 ，F(x)＜0

，当a≤0时，图象为：
当a＞0时，图象为：
由题意

a≤0 F(1)≤0

．解得-2≤a≤0…（8分）
（2）G(x)=

x2 ，x≤1 ax+3 ，x＞1

，
由题意易知P，Q两点在y轴的两侧，不妨设P点坐标在y轴的左侧，设P(x1，

x

2 1

)，
当-1＜x₁＜0，则Q(-x1，

x

2 1

)，

OP

•

OQ

=

x

2 1

(

x

2 1

-1)＜0恒成立，…（12分）
当x₁≤-1，则设点Q（-x₁，-ax₁+3），

OP

•

OQ

=-

x

2 1

+

x

2 1

(-ax1+3)＜0恒成立，
∴ax₁＞2恒成立，∵x₁≤-1，
∴a＜

2

x1

恒成立，只要∴a＜(

2

x1

)min，…（14分）
∵x₁≤-1，∴(

2

x1

)min=-2，
∴a＜-2．             …（16分）

点评：本题考查函数的零点，函数与方程的关系的应用，恒成立问题的应用，平面向量的数量积的应用，考查分析问题解决问题的能力．