Question

若函数f（x）=

1

2

x+cosx在区间（0，π）的一个子区间（k，k+

π

3

）内不是单调函数，则实数k的取值范围是（　　）

• A．[

  π

  6

  ，

  π

  2

  ]
• B．[0，

  π

  6

  ]∪[

  π

  2

  ，

  2π

  3

  ]
• C．[0，

  π

  6

  ）∪（

  π

  2

  ，

  2π

  3

  ]
• D．（0，

  π

  6

  ）∪（

  π

  2

  ，π）

Answer 1

分析：f（x）在（k，k+

π

3

）内不单调，等价于f′（x）=0在（k，k+

π

3

）内有实数解，由此可得到不等式组，解出即可．

解答：解：令f′（x）=

1

2

-sinx=0，得x=

π

6

或

5π

6

，
因为f（x）在（k，k+

π

3

）内不单调，
所以f′（x）=0在（k，k+

π

3

）内有实数解，
则

k≥0 k+ π 3 ≤π k＜ π 6 ＜k+ π 3

或

k≥0 k+ π 3 ≤π k＜ 5π 6 ＜k+ π 3

，解得0≤k＜

π

6

或

π

2

＜k≤

2π

3

，
故选C．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想，属中档题．