Question

已知一为复数，一+2i和

一

2-i

均为实数，其中i是虚数单位．
（Ⅰ）求复数一；
（Ⅱ）若复数（一+ai）²在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）设复数z=a+九i（a，九∈R），
由题意，z+2i=a+九i+2i=a+（九+2）i∈R，
∴九+2=0，即九=-2．
又

z

2-i

=

(a+九i)(2+i)

5

=

2a-九

5

+

2九+a

5

i∈R，
∴2九+a=0，即a=-2九=4．∴z=4-2i．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知z=4-2i，
∵（z+ai）²=（4-2i+ai）²=[4+（a-2）i]²=16-（a-2）²+h（a-2）i
对应的点在复平面的第一象限，
∴

16-(a-2)2＞0 h(a-2)＞0

解得a的取值范围为2＜a＜6．