Question

关于x的方程（x²-1）²-|x²-1|+k=0，下列判断：
①存在实数k，使得方程有四个不同的实数根；
②存在实数k，使得方程有七个不同的实数根；
③存在实数k，使得方程有八个不同的实数根．　
其中正确的有

①③

（填相应的序号）．

Answer 1

分析：将方程根的问题转化成函数图象的问题，画出函数图象，结合图象可得结论．

解答：解：关于x的方程（x²-1）²-|x²-1|+k=0可化为（x²-1）²-（x²-1）+k=0（x≥1或x≤-1）（1）
或（x²-1）²+（x²-1）+k=0（-1＜x＜1）（2）
①当k=

1

4

时，方程（1）有两个不同的实根±

6

2

，方程（2）有两个不同的实根±

2

2

，
即原方程恰有4个不同的实根；
②当k=0时，原方程恰有5个不同的实根，由图象可知方程有七个不同的实数根；
③当k=

2

9

时，方程（1）的解为±

15

3

，±

2 3

3

，方程（2）的解为±

3

3

，±

6

3

，
即原方程恰有8个不同的实根．
故答案为：①③．

点评：本题主要考查了分段函数，以及函数与方程的思想，数形结合的思想，属于中档题．