Question

a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边，且（sinB+sinC+sinA）（sinB+sinC-sinA）=

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5

sinBsinC，边b和c是关于x的方程：x²-9x+25cosA=0的两根（b＞c），D为△ABC内任一点，点D到三边距离之和为d．
（1）求角A的正弦值；       
 （2）求边a，b，c；      
（3）求d的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由已知：（sinB+sinC+sinA）（sinB+sinC-sinA）=

18

5

sinBsinC，利用正弦定理可得b2+c2-a2=

8

5

bc，进而利用余弦定理求cosA，从而可求sinA的值；
（2）由方程x²-9x+25cosA=0，可得x²-9x+20=0，从而b=5，c=4，利用余弦定理a²=b²+c²-2bccosA=9，可求得a=3；
（3）设D到三边的距离分别为x、y、z，利用间接法求出三角形面积并让其等于6得到关于x、y和z的等式，而d等于x+y+z，两者联立消去z后表示出y的关系式，利用距离大于等于0得到一个不等式组，画出此不等式组所表示的平面区域，在平面区域内得到d的最小值和最大值即可得到d的取值范围．

解答：解：（1）由已知：（sinB+sinC+sinA）（sinB+sinC-sinA）=

18

5

sinBsinC
由正弦定理∴sin²B+sin²C-sin²A=

8

5

sinBsinC∴b2+c2-a2=

8

5

bc（2分）
由余弦定理cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

4

5

，（3分）
∴sinA=

3

5

（4分）
（2）由（1）方程x²-9x+25cosA=0即x²-9x+20=0，则b=5，c=4（6分）
∴a²=b²+c²-2bccosA=9，∴a=3（8分）
（3）设D到三边的距离分别为x、y、z，
则 S△ABC=

1

2

(3x+4y+5z)=6
d=x+y+z=

12

5

+

1

5

(2x+y)又x、y满足

3x+4y≤12 x≥0 y≥0

由d=

12

5

+

1

5

（2x+y）得到y=-2x+5d-12，画出不等式表示的平面区域得：y=-2x+5d-12是斜率为-2的一组平行线，
当该直线过不等式表示的平面区域中的O点即原点时与y轴的截距最小，把（0，0）代入到方程中求得d=

12

5

；
当该直线过A点时，与y轴的截距最大，把A（4．，0）代入即可求得d=4，
所以满足题意d的范围为：

12

5

＜d＜4

点评：本题以三角函数为载体，考查学生灵活运用余弦定理、三角形的面积公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，会进行简单的线性规划，是一道中档题．