Question

10．对于函数y=f（x），x∈D，若对任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使得$\sqrt{f（{x}_{1}）f（{x}_{2}）}$=M，则称函数f（x）在D上的几何平均数为M，已知f（x）=x³-x²+1，x∈[1，2]，则函数f（x）=x³-x²+1在[1，2]上的几何平均数M=$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 根据已知中对于函数y=f（x），x∈D，若存在常数C，对任意x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使得$\sqrt{f（{x}_{1}）f（{x}_{2}）}$=M，则称函数f（x）在D上的几何平均数为M．我们易得若函数在区间D上单调递增，则M应该等于函数在区间D上最大值与最小值的几何平均数，由f（x）=x³-x²+1，D=[1，2]，代入即可得到答案．

解答 解：根据已知中关于函数f（x）在D上的几何平均数为M的定义，
由于f（x）的导数为f′（x）=3x²-2x，在{1，2]内f′（x）＞0，
则f（x）=x³-x²+1在区间[1，2]单调递增，
则x₁=1时，存在唯一的x₂=2与之对应，
且x=1时，f（x）取得最小值1，x=2时，取得最大值5，
故M=$\sqrt{1×5}$=$\sqrt{5}$．
故答案为：$\sqrt{5}$．

点评 此题主要考查了应用新定义分析题意解决问题．对于新定义的问题，需要认真分析定义内容，切记不可偏离题目．