Question

【题目】设直线 是函数f（x）=sinx+acosx的图象的一条对称轴．
（1）求函数f（x）的最大值及取得最大值时x的值；
（2）求函数f（x）在[0，π]上的减区间．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵直线 是函数f（x）的图象的对称轴，

∴ 对x∈R恒成立．

∴ 对x∈R恒成立，

即 对x∈R恒成立，得 ．

从而 ．

故当 ，即 时，f（x）取得最大值2

（2）解：由 ，解得 ，k∈Z．

取k=0，可得f（x）在[0，π]上的减区间为

【解析】（1）利用对称轴的性质可证明 f ( + x ) = f ( x ) 对x∈R恒成立即得，( a + ) s i n x = 0 对x∈R恒成立，解得 a的值。再利用凑角公式可得到 f ( x )= 2 s i n ( x )，由整体思想求出函数 f ( x )的最大值。（2）把x-整体代入到正弦函数的单调减区间，求出x的取值围，令k=0，得到减区间。