题目内容

已知幂函数y=f（x）的图象经过点 $数学公式$ ．
（1）求函数f（x）的解析式，并写出f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的单调性，并证明你的结论．

解：（1）依题意设y=x^α，
∵函数y=f（x）的图象经过点 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，
由 $\text{[math]}$ 可知：f（x）的定义域为[0，+∞）
（2）函数f（x）在[0，+∞）上是增函数；
证明：任取x₁，x₂∈[0，+∞），且x₁＜x₂，
则 $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ，
∵x₁-x₂＜0， $\text{[math]}$
∴f（x₁）＜f（x₂）
所以函数 $\text{[math]}$ 在[0，+∞）上是增函数．
分析：（1）利用幂函数的形式设出其方程，将点的坐标代入求出解析式．
（2）利用函数单调性的定义证明函数的单调性．关键是将函数值的差变形．
点评：本题考查利用待定系数法求模型已知的函数的解析式；利用函数单调性的定义证明函数的单调性．

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