Question

数列{a_n}是等差数列，数列{b_n}满足b_n=a_na_n+1a_n+2（n∈N*），数列{b_n}的前n项和为S_n．
（1）若数列{a_n}的公差d等于首项a₁，试用数学归纳法证明：对于任意n∈N*，都有S_n=；
（2）若数列{a_n}满足：3a₅=8a₁₂＞0，试问n为何值时，S_n取得最大值？并说明理由．

Answer 1

解：（1）证明：当n=1时，S₁=b₁，==b₁，原式成立．（1分）
假设当n=k时，S_k=成立，（2分）
则S_k+1=S_k+b_k+1=（4分）
====（6分）
所以n=k+1时，等式仍然成立，故对于任意n∈N*，都有S_n=；（8分）
（2）因为3a₅=8a₁₂＞0，所以3a₅=8（a₅+7d），a₅=-＞0，所以d＜0
又a₁₆=a₅+11d=-＞0，a₁₇=a₅+12d=＜0，（11分）
所以a₁＞a₂＞a₃＞…＞a₁₆＞0＞a₁₇＞a₁₈，b₁＞b₂＞b₃＞…＞b₁₄＞0＞b₁₇＞b₁₈，
因为b₁₅=a₁₅a₁₆a₁₇＜0，b₁₆=a₁₆a₁₇a₁₈＞0，（13分）
a₁₅=a₅+10d=-＞0，a₁₈=a₅+13d=＜0，
所以a₁₅＜-a₁₈，所以b₁₅＞-b₁₆，b₁₅+b₁₆＞0，（15分）
故S₁₆＞S₁₄，所以S_n中S₁₆最大．（16分）
分析：（1）当n=1时，S₁=b₁，==b₁，原式成立．假设当n=k时，S_k=成立，由此证明n=k+1时，等式仍然成立．
（2）由3a₅=8a₁₂＞0，知3a₅=8（a₅+7d），a₅=-＞0，所以d＜0．由a₁₆=a₅+11d=-＞0，a₁₇=a₅+12d=＜0，知a₁＞a₂＞a₃＞…＞a₁₆＞0＞a₁₇＞a₁₈，b₁＞b₂＞b₃＞…＞b₁₄＞0＞b₁₇＞b₁₈，由此能够推导出S_n中S₁₆最大．
点评：本题考查数列和函数的综合运用，解题时要认真审题，注意数列归纳法的合理运用，恰当地进行等价转化．