题目内容

设f（x）=ax²+8x+3（a∈R）．
（1）若g（x）=x•f（x），f（x）与g（x）在x同一个值时都取极值，求a；
（2）对于给定的负数a，当a≤-8时有一个最大的正数M（a），使得x∈[0，M（a）]时，恒有|f（x）|≤5．
（i）求M（a）的表达式；
（ii）求M（a）的最大值及相应的a的值．

解：（1）易知a≠0，f（x）在 $\text{[math]}$ 时取得极值．
由g（x）=ax³+8x²+3x得g'（x）=3ax²+16x+3
由题意得： $\text{[math]}$ ．故 $\text{[math]}$ ．
经检验 $\text{[math]}$ 时满足题意．
（2）（i）因 $\text{[math]}$ ．∴ $\text{[math]}$ ．
情形一：当 $\text{[math]}$ ，即-8＜a＜0时，此时不满足条件．
情形二：当 $\text{[math]}$ ，即a≤-8时，要使|f（x）|≤5在x∈[0，M（a）]上恒成立，
而M（a）要最大，只能是ax²+8x+3=-5的较大根，则 $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$
（ii） $\text{[math]}$ ，
∴当a=-8时， $\text{[math]}$ ．
分析：（1）先求得f（x）在 $\text{[math]}$ 时取得极值．由于f（x）与g（x）在x同一个值时都取极值，故由g'（x）=3ax²+16x+3知
$\text{[math]}$ ，从而渴求的故 $\text{[math]}$ ．
（2）（i）先求得 $\text{[math]}$ ．再分类讨论：当 $\text{[math]}$ ，即-8＜a＜0时，此时不满足条件；当 $\text{[math]}$ ，即a≤-8时，要使|f（x）|≤5在x∈[0，M（a）]上恒成立，而M（a）要最大，只能是ax²+8x+3=-5的较大根，故可求；
（ii）由 $\text{[math]}$ 由于a≤-8，故可求
点评：本题以函数为载体，考查函数的极值，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力．