题目内容

如图，用一块形状为半椭圆 $数学公式$ （y≥0）的铁皮截取一个以短轴BC为底的等腰梯形ABCD，问：怎样截才能使所得等腰梯形ABCD的面积最大？

解：设D点坐标为（x，y）（x＞0），由点D在椭圆上知 $\text{[math]}$ （y≥0），
得y²=4（1-x²）
∴等腰梯形ABCD的面积为 $\text{[math]}$ （2分）
∴S²=（x+1）²•y²=（x+1）²•4（1-x²）=4（-x⁴-2x³+2x+1）
=-4x⁴-8x³+8x+4（0＜x＜1）
（S²）'=4（-4x³-6x²+2），
令（S²）'=0，
得2x³+3x²-1=0，即（x+1）²（2x-1）=0，
∵0＜x＜1，∴ $\text{[math]}$ ，（6分）
又当 $\text{[math]}$ 时，（S²）'＞0；当 $\text{[math]}$ 时，（S²）'＜0，
∴在区间（0，1）上，S²有唯一的极大值点 $\text{[math]}$ ，（8分）
∴当 $\text{[math]}$ 时，S²有最大值为 $\text{[math]}$ ；
即当 $\text{[math]}$ 时，S有最大值为 $\text{[math]}$ ．（10分）
因此只需分别作OC，OB的中垂线与上半椭圆交于D，A，这样的等腰梯形的面积最大．（12分）
分析：设D点坐标为（x，y）（x＞0），由点D在椭圆上知 $\text{[math]}$ （y≥0），得y²=4（1-x²），用x，y表示出等腰梯形ABCD的面积为 $\text{[math]}$ ，将y²=4（1-x²）代入得S²=（x+1）²•y²=（x+1）²•4（1-x²）=4（-x⁴-2x³+2x+1），利用导数求此函数的最值
点评：本题考查椭圆方程的应用，解题的关键是根据椭圆的方程消元，将面积表示成x的函数，再利用导数研究此函数的最值，此题运算量很大，解题时极易因运算出错，做题时要严谨认真．