Question

已知AB⊥平面BCD，如图所示，AB=2,CD=5,△BCD的面积为5，求点B到平面ACD的距离.

Answer 1

思路解析：利用点到平面的距离的求法.一般地，需作出点到面的距离，关键是垂足落在何处.有时，也可利用构造法求解，而不需作出垂线段.

解法一：过点B作BE⊥CD于F，连结AE，则AE⊥CD，

∴CD⊥平面ABE.

∴平面ABE⊥平面ACD.

过B作AE的垂线BF，垂足为F，则BF⊥平面ACD，

∴BF的长为B点到平面ACD的距离.

∵S_△BCD=5,CD=5,∴BE=2.

又∵AB=2,∴AE=4.

在Rt△ABE中，由面积相等得

BF·AE=AB·BE,∴BF=3.

解法二：过点B作BE⊥CD于E，连结AE，则AE⊥CD，∴∠AEB为二面角A-CD-B的平面角.

∵BE=2,AE=4,S_△BCD=S_△ACD·cosθ,

∴S_△ACD==5×=10.

由等体积公式V_a—BCD=V_B—ACD,

即·5·2=·10·h,∴h=.

方法归纳  求点到面的距离有直接作出法和转化法，转化法是转化为求直角三角形斜边上的高或求三棱锥的高.