题目内容

已知函数f（x）=lg（1-x）-lg（1+x）．
（Ⅰ）求值：f(
1
2009
)+f(-
1
2009
)；
（Ⅱ）判断函数的单调性并用定义证明．
（1）
1-x＞0
1+x＞0
?-1＜x＜1（2分）
又f（-x）=lg（1+x）-lg（1-x）=-f（x）∴f（x）为奇函数，
故f(
1
2009
)+f(-
1
2009
)=0． （6分）
（2）设-1＜x1＜x2＜1，
则f(x1)-f(x2)=lg
1-x1
1+x1
-lg
1-x2
1+x2
=lg
(1-x1)(1+x2)
(1+x1)(1-x2)

∵（1-x1）（1+x2）-（1+x1）（1-x2）=2（x2-x1）＞0
又（1-x1）（1+x2）＞0，（1+x1）（1-x2）＞0
∴
(1-x1)(1+x2)
(1+x1)(1-x2)
＞1，∴lg
(1-x1)(1+x2)
(1+x1)(1-x2)
＞0
从而f（x1）＞f（x2）故f（x）在（-1，1）上为减函数． （12分）
练习册系列答案
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已知函数f（x）=2x-2+ae-x（a∈R）
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；
（2）当a=1时，若直线l：y=kx-2与曲线y=f（x）在（-∞，0）上有公共点，求k的取值范围．
已知函数f（x）=x2+2|lnx-1|．
（1）求函数y=f（x）的最小值；
（2）证明：对任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）对于函数f（x）图象上的不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函数f（x）图象上存在点M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得点M处的切线l∥AB，则称直线AB存在“伴侣切线”．特别地，当x0=
x1+x2
2
时，又称直线AB存在“中值伴侣切线”．试问：当x≥e时，对于函数f（x）图象上不同两点A、B，直线AB是否存在“中值伴侣切线”？证明你的结论．
已知函数f（x）=x2-bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线x+3y-1=0垂直，若数列{
1
f(n)
}的前n项和为Sn，则S2012的值为（　　）
已知函数f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函数f（x）的极值点；
（Ⅱ）若直线l过点（0，-1），并且与曲线y=f（x）相切，求直线l的方程．
已知函数f（x）=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）试就实数a的不同取值，写出该函数的单调增区间；
（2）已知当x＞0时，函数在（0，
6
）上单调递减，在（
6
，+∞）上单调递增，求a的值并写出函数的解析式；
（3）记（2）中的函数图象为曲线C，试问是否存在经过原点的直线l，使得l为曲线C的对称轴？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

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