Question

2．已知函数$f（x）=sin（2x+\frac{π}{4}）+cos（2x-\frac{π}{4}），x∈R$．
（1）求$f（\frac{π}{2}）$的值；
（2）求函数f（x）的值域和单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）首先利用三角函数的恒等变换把函数的关系式变性成正弦型函数，进一步求出函数的值．
（2）利用正弦型函数的解析式，进一步利用函数的定义域求出函数的值域，最后利用整体思想求出函数的单调区间．

解答 解：（1）$f（x）=sin（2x+\frac{π}{4}）+cos（2x-\frac{π}{4}）$
=2（$\frac{\sqrt{2}}{2}sin2x+\frac{\sqrt{2}}{2}cos2x$）
=2sin（2x+$\frac{π}{4}$），
所以：f（$\frac{π}{2}$）=2sin（π+$\frac{π}{4}$）=-$\sqrt{2}$．
（2）由于：x∈R，且f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{4}$），
所以函数的值域为：f（x）∈[-2，2]．
令：$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{4}≤2kπ+\frac{π}{2}$
整理得：$-\frac{3π}{8}+kπ≤x≤kπ+\frac{π}{8}$，（k∈Z）
所以函数的单调递增区间为：[$-\frac{3π}{8}+kπ，kπ+\frac{π}{8}$]（k∈Z）

点评 本题考查的知识要点：三角函数的关系式的恒等变换，利用正弦型函数的定义域求函数的值域，利用整体思想求函数的单调区间．主要考查学生的应用能力．