题目内容

已知tanα、tanβ是方程 $数学公式$ 的两根，且 $数学公式$ ，求α+β的值．

解：依题意得tanα+tanβ=-3 $\text{[math]}$ ＜0，tanα•tanβ=4＞0，
∴tan（α+β）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
易知tanα＜0，tanβ＜0，又α，β∈（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
∴α∈（- $\text{[math]}$ ，0），β∈（- $\text{[math]}$ ，0），
∴α+β∈（-π，0），
∴α+β=- $\text{[math]}$ ．
分析：由tanα，tanβ是方程x²+3 $\text{[math]}$ x+4=0的两个根，根据韦达定理表示出两根之和与两根之积，表示出所求角度的正切值，利用两角和的正切函数公式化简后，将表示出的两根之和与两根之积代入即可求出tan（α+β）的值，然后根据两根之和小于0，两根之积大于0，得到两根都为负数，根据α与β的范围，求出α+β的范围，再根据特殊角的三角函数值，由求出的tan（α+β）的值即可求出α+β的值．
点评：此题考查学生灵活运用韦达定理及两角和的正切函数公式化简求值，是一道中档题．本题的关键是找出α+β的范围．