Question

已知sin²2α+sin2αcosα-cos2α=1,α∈(0,),求sinα、tanα的值.

Answer 1

解：方法一:由倍角公式,sin2α=2sinαcosα,cos2α=2cos²α-1,则原式得

4sin²αcos²α+2sinαcos²α-2cos²α=0?2cos²α(2sin²α+sinα-1)=0?2cos²α(2sinα-1)·(sinα+1)=0.∵α∈(0,),∴sinα+1≠0,cos²α≠0.∴2sinα-1=0,即sinα=.∴α=.∴tanα=.

方法二:由题设,得sin²2α+sin2αcosα-2cos²α=0,即(sin2α+2cosα)(sin2α-cosα)=0.

∵α∈(0,),∴sin2α+2cosα≠0.∴sin2α-cosα=0.

∵cosα≠0,∴2sinα-1=0,即sinα=.∴α=.∴tanα=.

方法三:由题设,得sin²2α+sin2αcosα-2cos²α=0,将其看成关于sin2α的一元二次方程,得sin2α=,

∴sin2α=-2cosα或sin2α=cosα.

∵α∈(0,),∴sin2α≠-2cosα.∴sin2α=cosα(以下同方法二).

点评:本题是考查三角函数的综合题,能抓住“二倍角公式”和“同角三角函数关系式”这两个知识重点,把它们有机地组合在一起.解题过程运用“换元法”等基本数学方法,体现方程思想,在考查基础知识的基本技能的同时达到考查数学思想方法的目标.