Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且2nS_n=（n+1）a_n，n∈N^*
（1）求a_n与S_n的表达式；
（2）如果?k∈N^*，使得?k∈N^*|a_k+a_k+1|•|S_k+S_k+1|∈[2012-m，2012+m]成立，求正数m的最小值．

Answer 1

分析：（1）先根据2nS_n=（n+1）a_n：Sn=-

n+1

n-1

Sn-1；进而向前递推得到Sn=-

n+1

n-1

Sn-1=-

n+1

n-1

(-

n

n-2

)Sn-2=-

n+1

n-1

(-

n

n-2

)…(-

4

2

)(-

3

1

)S1；即可求出Sn=(-1)n-1

(n+1)n

2

，(n≥2)，进而得到a_n与S_n的表达式；
（2）先根据第一问的结论得到|a_k+a_k+1|•|S_k+S_k+1|=（k+1）（2k+1）；再结合|a_k+a_k+1|•|S_k+S_k+1|∈[2012-m，2012+m]，让k取特殊值，检验即可得到结论．

解答：解（1）由2nS_n=（n+1）a_n，知
当n≥2时，2nS_n=（n+1）（S_n-S_n-1），整理得：Sn=-

n+1

n-1

Sn-1
所以Sn=-

n+1

n-1

Sn-1=-

n+1

n-1

(-

n

n-2

)Sn-2=-

n+1

n-1

(-

n

n-2

)…(-

4

2

)(-

3

1

)S1．
而S₁=a₁=1，
所以Sn=(-1)n-1

(n+1)n

2

，(n≥2)，
当n=1时，上式也等于1，所以Sn=(-1)n-1

(n+1)n

2

，(n∈N*)
此时an=

2nSn

n+1

=(-1)n-1n2，  (n∈N*)
（2）由（1）知|a_k+a_k+1|=|（-1）^k-1k²+（-1）^k（k+1）²|=2k+1，|Sk+Sk+1|=|(-1)k-1

k(k+1)

2

+(-1)k

(k+1)(k+2)

2

|=k+1
由|a_k+a_k+1|•|S_k+S_k+1|∈[2012-m，2012+m]，知（k+1）（2k+1）∈[2012-m，2012+m]，
要使得正整数m取得最小值，则必须（k+1）（2k+1）充分靠近2012，
而（k+1）（2k+1）随着正整数k的增大而增大，
当k=30时，（k+1）（2k+1）=1891＜2012，
当k=31时，（k+1）（2k+1）=2016＞2012，
所以2012+m≥2016，m≥42012-m≤1891，m≥121，
综上，正整数m的最小值为4

点评：本题主要考察数列递推关系式的应用问题以及前n项和为S_n与通项之间的关系．是对基础知识的综合考察，属于中档题目，解决问题的关键在于利用叠乘法求出前n项和为S_n的表达式．