题目内容

如图，已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率是
2
2
，A1，A2分别是椭圆C的左、右两个顶点，点F是椭圆C的右焦点．点D是x轴上位于A2右侧的一点，且满足
1
|A1D|
+
1
|A2D|
=
2
|FD|
=2．
（1）求椭圆C的方程以及点D的坐标；
（2）过点D作x轴的垂线n，再作直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点P，直线l交直线n于点Q．求证：以线段PQ为直径的圆恒过定点，并求出定点的坐标．
（1）A1（-a，0），A2（a，0），F（c，0），设D（x，0），
由
1
|A1D|
+
1
|A2D|
=2有
1
x+a
+
1
x-a
=2，
又|FD|=1，∴x-c=1，∴x=c+1，
于是
1
c+1+a
+
1
c+1-a
=2，
∴c+1=（c+1+a）（c+1-a），
又∵
c
a
=
2
2
⇒a=
2
c，∴c+1=(c+1+
2
c)(c+1-
2
c)，
∴c2-c=0，又c＞0，∴c=1，
∴a=
2
，b=1，
∴椭圆C：
x2
2
+y2=1，且D（2，0）．
（2）证明：∵Q（2，2k+m），设P（x0，y0），
由
y=kx+m
x2
2
+y2=1
⇒
x2
2
+(kx+m)2=1⇒x2+2（kx+m）2=2⇒（2k2+1）x2+4kmx+2m2-2=0，
由于△=16k2m2-4（2k2+1）（2m2-2）=0⇒2k2-m2+1=0⇒m2=2k2+1（*），
而由韦达定理：2x0=
-4km
2k2+1
，
∴x0=
-2km
2k2+1
，
由（*）可得
-2km
m2
=-
2k
m
，∴y0=kx0+m=-
2k2
m
+m=
1
m
，∴P(-
2k
m
，
1
m
)，
设以线段PQ为直径的圆上任意一点M（x，y），
由
MP
•
MQ
=0有(x+
2k
m
)(x-2)+(y-
1
m
)(y-(2k+m))=0⇒x2+y2+(
2k
m
-2)x+(2k+m+
1
m
)y+(1-
2k
m
)=0，
由对称性知定点在x轴上，令y=0，取A时满足上式，故过定点C．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C的中心在坐标原点O，左顶点A（-2，0），离心率e=
1
2
，F为右焦点，过焦点F的直线交椭圆C于P、Q两点（不同于点A）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）当△APQ的面积S=
18
2
7
时，求直线PQ的方程；
（Ⅲ）求
OP
•
FP
的范围．
求经过点P（-1，-6）与抛物线C：x2=4y只有一个公共点的直线l方程．
如图，椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b，b＞0）和圆C2：x2+y2=b2，已知圆C2将椭圆Cl的长轴三等分，且圆C2的面积为π．椭圆Cl的下顶点为E，过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆C2相交于点A、B，直线EA、EB与椭圆C1的另一个交点分别是点P、M．
（Ⅰ）求椭圆C1的方程；
（Ⅱ）（i）设PM的斜率为t，直线l斜率为K1，求
K1
t
的值；
（ii）求△EPM面积最大时直线l的方程．
点P在直线l：y=x-1上，若存在过P的直线交抛物线y=x2于A，B两点，且
PA
=
AB
，则称点P为“λ点”，那么直线l上有______个“λ点”．
已知平面内一动点P到点F（2，0）的距离比点P到y轴的距离大2，
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点F且斜率为2
2
的直线交轨迹C于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点，P（x3，y3）（x3≥0）为轨迹C上一点，若
OP
=
OA
+λ
OB
，求λ的值．
抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线C上点M的横坐标为2，且|MF|=3．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过焦点F作两条相互垂直的直线，分别与抛物线C交于M、N和P、Q四点，求四边形MPNQ面积的最小值．
已知椭圆C1的方程为
x2
4
+y2=1，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点．
（Ⅰ）求双曲线C2的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+
2
与椭圆C1及双曲线C2都恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B满足
OA
•
OB
＜6（其中O为原点），求k的取值范围．
已知双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)，直线l：y=
3
(x-4)关于直线l1：y=
b
a
x对称的直线l′与x轴平行．
（1）求双曲线的离心率；
（2）若点M（4，0）到双曲线上的点P的最小距离等于1，求双曲线的方程．

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