Question

已知函数

（Ⅰ）当时，判断函数的单调区间并给予证明；

（Ⅱ）若有两个极值点，证明：．

Answer 1

（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）证明详见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）时，于是可利用导数的符号解决函数的单调性问题；（Ⅱ）因为有两个极值点，所以其导函数有两个零点，

又因为的导数为，可结合的性质确定的取值范围，写出函数在处所取极值的表达式及定义域，同样利用导数研究的单调性从而证明不等式.

试题解析：（Ⅰ）时，易知

从而为单调减函数． ４分

（Ⅱ）有两个极值点，

即有两个实根，所以

，得．

，得． 6分

又，

所以 8分

，得

10分

令

，

12分

另【解析】
由两个实根，，

当时，所以单调递减且，不能满足条件．

当时，所以单调递减且

当时，所以单调递增且，

故当时，，当时，当时②，所以由两个实根需要．即

即，，从而可以构造函数解决不等式的证明．

考点：导数的运算以及应用导数研究函数的单调性、求函数的极值等问题.