Question

一个人随机将编号为1，2，3，4的四个小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中去，每个盒子放入一球，当盒子编号与球的编号相同时叫做放对了，否则叫放错了，设放对了的小球数有ξ个．
（1）求ξ的分布列；
（2）求ξ的期望与方差．

Answer 1

分析：（1）由题设知，ξ的可能取值是0，1，2，4，由题设条件分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=4），由此能求出ξ的分布列．
（2）由ξ的分布列能求出Eξ和Dξ．

解答：解：（1）由题设知，ξ的可能取值是0，1，2，4，
把4个小球放入四个盒中，每个盒子放入一球，共有

A

4 4

种放法，
ξ=0，表示四个小球和四个盒子的编号都不相同，
先放1号球，有3种放法；再放装1号球的盒子对应号码的小球，也有3种放法；
然后剩下的两个小球各有一种放法，
故ξ=0的放法有3×3×1×1=9，
∴P（ξ=0）=

9

A 4 4

=

9

24

=

3

8

，
ξ=1表示有1个小球与盒子的编号相同，
从四个小球中任一个，放入对应的盒子中，有

C

1 4

种，
剩下的3个小球有2种放法，
故ξ=1的放法有

C

1 4

•2种，
∴P（ξ=1）=

C 1 4 •2

A 4 4

=

8

24

=

1

3

，
ξ=2表示有2个小球与盒子的编号相同，
从四个小球中任2个，放入对应的盒子中，有

C

2 4

种，
剩下的2个小球有1种放法，
故ξ=2的放法有

C

2 4

种，
∴P（ξ=2）=

C 2 4

A 4 4

=

6

24

=

1

4

，
ξ=4表示有4个小球与盒子的编号相同，有1种放法，
∴P（ξ=4）=

1

A 4 4

=

1

24

．
∴ξ的分布列为：

ζ	0	1	2	4
P	3 8	1 3	1 4	1 24

（2）由（1）知Eξ=0×

3

8

+1×

1

3

+ 2×

1

4

+4×

1

24

=1，
ξ²=02×

3

8

+12×

1

3

+22×

1

4

+42×

1

24

=2，
∴Dξ=Eξ²-（Eξ）²=2-1²=1．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望和方差，是历年高考的必考题型，难度不大，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意排列组合知识的灵活运用．