Question

已知正四棱柱中，是的中点.

（I）求证：平面；

（II）求证：；

（III）在线段上是否存在点，当时，平面平面？若存在，求出的值并证明；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解：（Ⅰ）在正四棱柱中,连结交于，连结.

         因为为正方形，

所以为中点.                                   

在中，

因为为中点，

所以∥.                                       

因为平面，平面，             

所以∥平面.                                 

(Ⅱ) 因为为正方形，

所以.      

因为平面，

所以.     

因为,

所以平面. 

因为，

所以.       

（Ⅲ）当，即点为线段的中点时，平面平面

              因为且，

所以四边形是平行四边形.             

所以.                                      

取的中点，连结.

因为为中点，

所以且，

所以四边形是平行四边形.                        

所以.                                    

同理.

所以.

因为，，

所以平面平面.