Question

8．在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=AB=2，∠A₁AD=∠DAB=60°，O是AD的中点．
（1）证明AD⊥面A₁OB；
（2）当平面ABCD⊥平面AA₁D₁D，求V_B1-CDD1．

Answer 1

分析 （1）证明AD⊥面A₁OB，只需要证明A₁O⊥AD，BO⊥AD即可；
（2）利用A₁B₁∥平面CDD₁C₁，可得${V_{{B_1}-CD{D_1}}}={V_{{A_1}-CD{D_1}}}={V_{C-{A_1}{D_1}D}}=\frac{1}{6}{V_{ABCD-{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}}}$，即可求V_B1-CDD1．

解答 （1）证明：∵AA₁=AD，∠A₁AD=60°，
∴A₁O⊥AD
同理BO⊥AD
∵A₁O∩BO=O
∴AO⊥平面A₁BO，即AD⊥面A₁OB；
（2）解：∵A₁B₁∥平面CDD₁C₁
∴${V_{{B_1}-CD{D_1}}}={V_{{A_1}-CD{D_1}}}={V_{C-{A_1}{D_1}D}}=\frac{1}{6}{V_{ABCD-{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}}}$
由（1）A₁O⊥AD，
又平面ABCD⊥平面AA₁D₁D
∴A₁O⊥平面ABCD
∵${A_1}O=\sqrt{3}$，${S_{ABCD}}=AB•ADsin60°=2\sqrt{3}$
∴${V_{ABCD-{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}}}={A_1}O•{S_{ABCD}}=6$
∴${V_{{B_1}-CD{D_1}}}=\frac{1}{6}×6=1$

点评 本题考查线面垂直、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．