Question

设函数f（x）=sin（x+）﹣2sin²x．

（1）求函数f（x）的最小正周期；

（2）若函数y=g（x）的图象与函数y=f（x）的图象关于原点对称，求S=g（1）+g（2）+…+g（2012）的值．

Answer 1

考点：

三角函数中的恒等变换应用；函数的值；三角函数的周期性及其求法．

专题：

计算题．

分析：

（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为 sin（x+）﹣1，由此求得f（x）的最小正周期．

（2）在函数y=g（x）的图象上任取一点（x，g（x）），则它关于原点的对称点（﹣x，﹣g（x））在函数y=f（x）的图象上，由此求得 g（x）=sin（x﹣）+1，由此求得

函数g（x）的周期为4，求出g（1）+g（2）+g（3）+g（4）的值，即可求得S=g（1）+g（2）+…+g（2012）的值．

解答：

解：（1）∵函数f（x）=sin（x+）﹣2sin²x=sinx+cosx﹣2•

=（sinx+cosx）﹣1=sin（x+）﹣1，

故函数f（x）的最小正周期T==4．

（2）∵函数y=g（x）的图象与函数y=f（x）的图象关于原点对称，在函数y=g（x）的图象上任取一点

（x，g（x）），则它关于原点的对称点（﹣x，﹣g（x））在函数y=f（x）的图象上，

即点（﹣x，﹣g（x））的坐标满足函数y=f（x）的解析式，故有﹣g（x）=sin（﹣x+）﹣1=﹣sin（x﹣）﹣1，

∴g（x）=sin（x﹣）+1，故函数g（x）的周期为4．

∵g（1）=sin（﹣）+1=+1，g（2）=sin（×2﹣）+1=+1，g（3）=sin（×3﹣）+1=1﹣，

g（4）=sin（×4﹣）+1=1﹣，∴g（1）+g（2）+g（3）+g（4）=4．

S=g（1）+g（2）+…+g（2012）=503（g（1）+g（2）+g（3）+g（4））=503×4=2012．

点评：

本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，利用函数的周期性求函数值，属于中档题．