Question

已知数列{a_n}中，S_n是{a_n}的前n项和，且S_n是2a与-2na_n的等差中项，其中a是不等于零的常数．
（1）求a₁，a₂，a₃；
（2）猜想a_n的表达式，并用数学归纳法加以证明．

Answer 1

分析：（1）通过n=1，2，3，利用S_n=a-na_n，求出a₁，a₂，a₃的值即可．
（2）根据（1）数列前3项的数值特征，猜想a_n的表达式，利用数学归纳法加验证n=1时猜想成立，然后假设n=k时猜想成立，证明n=k+1时猜想也成立．

解答：解：（1）由题意S_n=a-na_n，…（1分）
当n=1时，S₁=a₁=a-a₁，∴a1=

a

2

；            …（2分）
当n=2时，S₂=a₁+a₂=a-2a₂，∴a2=

a

6

；      …（3分）
当n=3时，S₃=a₁+a₂+a₃=a-3a₃，∴a3=

a

12

；  …（4分）
（2）猜想：an=

a

n(n+1)

(n∈N*)．…（6分）
证明：①当n=1时，由（1）可知等式成立；             …（7分）
②假设n=k（k≥1，k∈N^*）时等式成立，即：ak=

a

k(k+1)

，…（8分）
则当n=k+1时，a_k+1=S_k+1-S_k=a-（k+1）a_k+1-（a-ka_k），
∴(k+2)ak+1=kak=

a

(k+1)

，∴ak+1=

a

(k+1)(k+2)

=

a

(k+1)[(k+1)+1]

，
即n=k+1时等式也成立．…（14分）
综合①②知：an=

a

n(n+1)

对任意n∈N^*均成立．…（15分）

点评：本题的考点是数学归纳法，主要考查已知数列的递推关系式，求出数列的前几项，猜想通项公式，利用数学归纳法证明猜想成立，注意数学归纳法证明时，必须用上假设．证明当n=k+1时，猜想也成立，是解题的难点和关键．