Question

【题目】已知函数

（1）若为单调增函数，求实数的值；

（2）若函数无最小值，求整数的最小值与最大值之和.

Answer 1

【答案】（1）.（2）

【解析】

（1）求出，再令，求出两个根，函数为单调函数，所以有两个相同的根，得到，再进行检验即可；

（2）由得，或和，分别当、和三种情况进行讨论；时不成立，时成立，时，利用函数单调性，当无最小值时，，构造关于的函数，求出的范围，即可得到答案.

（1） 由题意，，

，解得，或，

因为函数为单调函数，所以有两个相同的根，即，

时，，为增函数，故适合题意；

（2）由（1）知，，解得，或，

①当时，则在上为减函数，

在上为增函数，

当时，有最小值，

故不适合题意；

②当时，则在上为增函数，

在上为增函数，

在上为增函数，无最小值，故适合题意；

③当时，则在上为增函数，

在上为减函数，

在上为增函数，

因为无最小值，

所以，

，

由在上恒成立，

在上单调递增，

且 存在唯一的实根

在上单调递减； 在上单调递增增，

且

存在唯一的实根，

由，

无最小值，则，，

综上，，，

，.