Question

（理）已知不等式a≤

3

4

x²-3x+4≤b的解集为[a，b]，则b=

 

，且a+b的值为

 

．

Answer 1

分析：画出函数f（x）=

3

4

x2-3x+4=

3

4

(x-2)2+1的图象，可知f（x）_min=1．分类讨论：若a＞1，则不等式a≤

3

4

x²-3x+4≤b的解集分为两段区域，不符合题意，应舍去．故a≤1＜b．再利用f（a）=f（b）=b，解得a，b即可．

解答：解：画出函数f（x）=

3

4

x2-3x+4=

3

4

(x-2)2+1的图象，
可得f（x）_min=f（2）=1，
由图象可知：若a＞1，则不等式a≤

3

4

x²-3x+4≤b的解集分两段区域，不符合已知条件．
因此a≤1．此时a≤

3

4

x2-3x+4恒成立．
又∵不等式a≤

3

4

x²-3x+4≤b的解集为[a，b]，
∴a≤1＜b，f（a）=f（b）=b，可得

3 4 a2-3a+4=b 3 4 b2-3b+4=b

，
由

3

4

b2-3b+4=b，化为3b²-16b+16=0，解得b=

4

3

，或4．
当b=

4

3

时，由

3

4

a2-3a+4-

4

3

=0，解得a=

4

3

或

8

3

，不符合题意，应舍去．
∴b=4，此时a=0．
∴a+b=5．
故答案分别为：4，4．

点评：本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．