Question

【题目】（本小题满分16分）已知是虚数， 是实数．

（1）求为何值时， 有最小值，并求出|的最小值；

（2）设，求证： 为纯虚数．

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】试题分析：（1）设 ，化简 ，利用 是虚数为实数，解得 的轨迹方程，利用几何意义即可的结果；（2）根据（1）的结论化简 即可得结论.

试题解析：（1）设，则

所以， ，又可得

表示点到点的距离，所以最小值为

解方程组并结合图形得

（2）

又，所以为纯虚数

【 思路点晴】本题主要考查的是复数的乘法、除法运算和复数模的概念及复数的几何性质，属于难题题．解题时一定要注意和运算的准确性，否则很容易出现错误．解本题的关键是先利用复数的模长公式列方程解出的值，然后根据复数的乘法、除法的运算法则和的性质化简+，最后再根据复数的几何意义求出的范围. ； ， ， ， （）．