Question

（本小题满分12分）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）设，证明：当时，；
（3）若函数的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x₀，
证明：（x₀）＜0．

Answer 1

解：
（1） 单调增加，在单调减少.
（2）当.
故当， 
（3）见解析。

本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。求解单调性和及证明不等式等知识的运用。
（1）先求解然后求解
对于参数a分情况讨论得到单调区间。
（2）构造函数则其导数为

然后分析导数大于零或者小于零的解即可。
（3）由（1）可得，当的图像与x轴至多有一个交点，
故，从而的最大值为，这样结合可知分析得到结论。
解：
（1） 
（i）若单调增加.
（ii）若且
所以单调增加，在单调减少.  ………………4分
（2）设函数则
当.
故当，   ………………8分
（3）由（1）可得，当的图像与x轴至多有一个交点，
故，从而的最大值为不妨设由（2）得从而
由（I）知，   ………………12分