Question

已知数列{a_n}满足

an+1+an-3

an+1-an+3

=n，且a₂=10，
（1）求a₁、a₃、a₄；
（2）猜想数列{a_n}的通项公式a_n，并用数学归纳法证明；
（3）是否存在常数c，使数列{

an

n+c

}成等差数列？若存在，请求出c的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：第1问比较容易只要给n依次取1，2，3即可．第2问根据第1问写出的前四项猜出一个符合的通项公式，然后利用数学归纳法进行证明．第3问先假定存在c使这个数列为等差数列，然后根据前三项成等差求出c，再进行验证c的每一个值是否使这个数列为等差数列．

解答：解：（1）∵a₂=10，将n=1代入已知等式得a₁=3，
同法可得a₃=21，a₄=36．
（2）∵a₁=3=1×3，a₂=10=2×5，a₃=3×7，a₄=4×9，
∴由此猜想a_n=n（2n+1）．
下面用数学归纳法证明．
①当n=1和2时猜想成立；
②假设当n=k（k≥2）时猜想成立，即a_k=k（2k+1），
那么，当n=k+1时，因为

ak+1+ak-3

ak+1-ak+3

=k，
所以ak+1=

3k+3-(k+1)ak

k-1

=

3(k+1)-(k+1)k(2k+1)

k-1

=（k+1）（2k+3）
这就是说当n=k+1时猜想也成立．因此a_n=n（2n+1）成立
（3）假设存在常数c使数列{

an

n+c

}成等差数列，
则有

a2

2+c

-

a1

1+c

=

a3

3+c

-

a2

2+c

把a₁=3，a₂=10，a₃=21代入得c=0或c=

1

2

．
当c=0时，数列{

an

n+c

}即为{2n+1}是公差为2的等差数列；
当c=

1

2

时，数列{

an

n+c

}即为{2n}是公差为2的等差数列．
∴存在常数c=0或c=

1

2

使数列{

an

n+c

}成等差数列．

点评：本题主要考查了数学归纳法证明，关键在于n=k+1时的运算要做到有的放矢．还考查了等差数列的定义．