Question

（本小题满分12分）椭圆：的左、右焦点分别为，焦距为2，，过作垂直于椭圆长轴的弦长为3．

(Ⅰ)求椭圆的方程；

（Ⅱ）若过的直线l交椭圆于两点．并判断是否存在直线l使得的夹角为钝角，若存在，求出l的斜率k的取值范围。

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)；（Ⅱ） 。

【解析】

试题分析：(Ⅰ)依题意             2分

解得，∴椭圆的方程为：               4分

（注：也可以由，椭圆定义求得）

（Ⅱ）（i）当过直线的斜率不存在时，点，；则；5分

(ii)当过直线的斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为，

设, 由   得：

            7分

         10分

当的夹角为钝角时，<0，            11分

情形（i）不满足<0，                12分

考点：本题主要考查椭圆标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系，向量的夹角。

点评：求圆锥曲线的标准方程是解析几何的基本问题，在研究直线与椭圆的位置关系中，常常用到韦达定理，以实现整体代换，向量知识常在条件中出现，以达到综合考查的目的。