Question

已知正方形的外接圆方程为x²+y²-24x+a=0，A、B、C、D按逆时针方向排列，正方形一边CD所在直线的方向向量为（3，1）．
（1）求正方形对角线AC与BD所在直线的方程；
（2）若顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线E经过正方形在x轴上方的两个顶点A、B，求抛物线E的方程．

Answer 1

分析：（1）配方推出圆的方程，求出圆心，利用k_AB=

1

3

，设MA、MB的斜率k满足|

k- 1 3

1+ 1 3 k

|=1，求出直线的斜率，得到直线的方程．
（2）设MB、MA的倾斜角分别为θ₁，θ₂，则tanθ₁=2，tanθ₂=-

1

2

，设出圆的半径r，利用A，B在抛物线上，求出p，r，得到抛物线方程．

解答：解：（1）由（x-12）²+y²=144-a（a＜144），
可知圆心M的坐标为（12，0），
依题意，∠ABM=∠BAM=

π

4

，k_AB=

1

3

，设MA、MB的斜率k满足|

k- 1 3

1+ 1 3 k

|=1．
解得k_AC=2，K_BD=-

1

2

．
∴所求BD方程为x+2y-12=0，AC方程为2x-y-24=0．
（2）设MB、MA的倾斜角分别为θ₁，θ₂，则tanθ₁=2，tanθ₂=-

1

2

，
设圆半径为r，则A（12+

5

5

r，

2 5

5

r），B（12-

2 5

5

r，

5

5

r），
再设抛物线方程为y²=2px （p＞0），由于A，B两点在抛物线上，
∴

( 5 5 r)2=2P(12- 2 5 5 r) ( 2 5 5 r)2=2p(12+ 5 5 r)

∴r=4

5

，p=2．
得抛物线方程为y²=4x．

点评：本题是中档题，考查抛物线与直线的位置关系，抛物线方程的求法，考查计算能力，转化思想，常考题型．