题目内容
数学课上，张老师用六根长度均为a的塑料棒搭成了一个正三棱锥（如图所示），然后他将其中的两根换成长度分别为在
和
的塑料棒、又搭成了一个三棱锥，陈成同学边听课边动手操作，也将其中的两根换掉，但没有成功，不能搭成三棱锥，如果两人都将BD换成了长为
的塑料棒．（1）试问张老师换掉的另一根塑料棒是什么，而陈成同学换掉的另一根塑料棒又是什么？请你用学到的数学知识解释陈成同学失败的原因；
（2）试证：平面ABD⊥平面CBD；
（3）求新三棱锥的外接球的表面积．
【答案】分析：（1）假定陈成同学换掉的是AC，然后根据换掉后的各边的长度及各个面三角形的形状推出在三角形BED中，BE+DE=BD这一矛盾来，，以之来解释陈成同学失败的原因．
（2）根据题目中的条件与同一性证出如图中AF垂直于面BCD，然后再由面面垂直的判断定理得出面面垂直即可．
（3）确定球心在直线AF上，然后在大圆面ABD上用半径、弦长的一半、弦心距建立关于求半径R的等式，从中求出球半径R．再利用球的表面积公式计算出球的表面积．
解答：
解：（1）张老师换掉的另一根塑料棒是CD（或AD、BC、BA），而陈成同学换掉的另一根塑料棒是AC．（3分）
根据题意作出如图所示的图形，其中图（1）表示陈
成同学想搭成的三棱锥，取AC中点E，连接BE、DE，
因AB2+CB2=AC2=2a2，所以BE是直角△ABC斜边上的中线，得BE=
•，
同理，DE=
，
从而有BE+DE=
•=BD，不能构成三角形，
所以图（1）错误．（（5分））
证明：（2）如图（2），不妨设张老师换掉的另一根塑料捧是CD，
取BD中点F，连接AF、CF，因△ABD是等腰三角形，
所以AF⊥BD，又△BCD是直角三角形．
所以CF=BF=DF．又AB=AC=AD，
所以△ABF≌△ACF，从而AF⊥CF，又CF与BD确定平面BCD，
所以AF⊥平面BCD．又AF?平面ABD，
所以平面ABD⊥平面CBD．（9分）
（3）由（2）可知：三棱锥的外接球的球心必在直线AF
上，设球半径为R，因BF=
，AB=a，
∴AF=
，∴
，
所以新三棱锥的外接球的表面积S=4πa2．（12分）
点评：本题是一个能力题，考查答题者根据题目中的题设与要求证（求解）的结论来构造相关图形与选择方法．对计算能力要求也较高．
（2）根据题目中的条件与同一性证出如图中AF垂直于面BCD，然后再由面面垂直的判断定理得出面面垂直即可．
（3）确定球心在直线AF上，然后在大圆面ABD上用半径、弦长的一半、弦心距建立关于求半径R的等式，从中求出球半径R．再利用球的表面积公式计算出球的表面积．
解答：
解：（1）张老师换掉的另一根塑料棒是CD（或AD、BC、BA），而陈成同学换掉的另一根塑料棒是AC．（3分）根据题意作出如图所示的图形，其中图（1）表示陈
成同学想搭成的三棱锥，取AC中点E，连接BE、DE，
因AB2+CB2=AC2=2a2，所以BE是直角△ABC斜边上的中线，得BE=
•，同理，DE=
，从而有BE+DE=
•=BD，不能构成三角形，所以图（1）错误．（（5分））
证明：（2）如图（2），不妨设张老师换掉的另一根塑料捧是CD，
取BD中点F，连接AF、CF，因△ABD是等腰三角形，
所以AF⊥BD，又△BCD是直角三角形．
所以CF=BF=DF．又AB=AC=AD，
所以△ABF≌△ACF，从而AF⊥CF，又CF与BD确定平面BCD，
所以AF⊥平面BCD．又AF?平面ABD，
所以平面ABD⊥平面CBD．（9分）
（3）由（2）可知：三棱锥的外接球的球心必在直线AF
上，设球半径为R，因BF=
，AB=a，∴AF=
，∴
，所以新三棱锥的外接球的表面积S=4πa2．（12分）
点评：本题是一个能力题，考查答题者根据题目中的题设与要求证（求解）的结论来构造相关图形与选择方法．对计算能力要求也较高．
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（2）试证：平面ABD⊥平面CBD；