Question

数列{a_n}满足S_n=2n-a_n(n∈N^*).

(1)计算a₁,a₂,a₃,a₄,并由此猜想通项公式a_n;

（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.

Answer 1

（1）a₁=1，a₂= a₃= a₄= a_n=(n∈N^*)（2）证明略

解析:

（1）解  当n=1时，a₁=S₁=2-a₁,∴a₁=1.

当n=2时，a₁+a₂=S₂=2×2-a₂,∴a₂=.

当n=3时，a₁+a₂+a₃=S₃=2×3-a₃,∴a₃=.

当n=4时，a₁+a₂+a₃+a₄=S₄=2×4-a₄,∴a₄=.

由此猜想a_n=(n∈N^*).

（2）证明  ①当n=1时，a₁=1，结论成立.

②假设n=k(k≥1且k∈N^*)时,结论成立，即a_k=,

那么n=k+1时，

a_k+1=S_k+1-S_k=2(k+1)-a_k+1-2k+a_k=2+a_k-a_k+1.

∴2a_k+1=2+a_k,

∴a_k+1===,

这表明n=k+1时，结论成立，

由①②知猜想a_n=（n∈N^*）成立.