题目内容
某高校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作．规定：至少正确完成其中2题的便可提交通过．已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是
，且每题正确完成与否互不影响．
（Ⅰ）分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；
（Ⅱ）试从两位考生正确完成题数的数学期望及至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力．
| 2 | 3 |
（Ⅰ）分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；
（Ⅱ）试从两位考生正确完成题数的数学期望及至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力．
分析：（Ⅰ）设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为ξ、η，ξ服从超几何分布，η～B(3，
)，利用数学期望的计算公式即可得出；
（Ⅱ）分别从做对题的数学期望、从至少完成两题的概率上考查即可．
| 2 |
| 3 |
（Ⅱ）分别从做对题的数学期望、从至少完成两题的概率上考查即可．
解答：解：（Ⅰ）设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为ξ、η，则ξ=1、2、3，η=0、1、2、3．
P（ξ=1）=
=
，P（ξ=2）=
=
，P（ξ=3）=
=
．
所以考生甲正确完成实验操作的题数的概率分布列为：
∴Eξ=1×
+2×
+3×
=2．
∵η～B(3，
)，所以考生甲正确完成实验操作的题数的概率分布列为：
P（η=k）=
(
)k(1-
)3-k（k=0，1，2，3），
∴Eη=3×
=2．
（Ⅱ）∵P（ξ≥2）=
+
=
，P（η≥2）=
+
=
．
∴P（ξ≥2）＞P（η≥2），
从做对题的数学期望上甲乙两人水平相当；从至少完成两题的概率上看，甲通过的可能性比较大，因此可以判断甲的实验操作能力强．
P（ξ=1）=
| ||||
|
| 1 |
| 5 |
| ||||
|
| 3 |
| 5 |
| ||
|
| 1 |
| 5 |
所以考生甲正确完成实验操作的题数的概率分布列为：
∴Eξ=1×
| 1 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
∵η～B(3，
| 2 |
| 3 |
P（η=k）=
| C | k 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
∴Eη=3×
| 2 |
| 3 |
（Ⅱ）∵P（ξ≥2）=
| 3 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 12 |
| 27 |
| 8 |
| 27 |
| 20 |
| 27 |
∴P（ξ≥2）＞P（η≥2），
从做对题的数学期望上甲乙两人水平相当；从至少完成两题的概率上看，甲通过的可能性比较大，因此可以判断甲的实验操作能力强．
点评：熟练掌握超几何分别、二项分布、数学期望是解题的关键．
练习册系列答案
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