Question

如图，设矩形ABCD（AB＞AD）的周长为4，把它关于AC折起来，AB折过去后，交DC与点P．设AB=x，求△ADP的最大面积及相应的x的值．

Answer 1

分析：由已知中矩形ABCD（AB＞AD）的周长为4，AB=x，我们可以可得AD=2-x，进而设出PC=a，则DP=x-a，由勾股定理，我们可以得到△ADP的面积的表达式，进而由基本不等式我们易求出△ADP的最大面积及相应的x的值．

解答：（本小题满分12分）
解：如图，因为AB=x，所以AD=2-x．…（2分）
设PC=a，则DP=x-a．
由勾股定理，得（2-x）²+（x-a）²=a²．…（4分）
可得a=

x2-2x+2

x

．DP=x-a=

2x-2

x

．…（6分）
所以△ADP的面积S=

1

2

(2-x)

2x-2

x

=

-x2+3x-2

x

=-(x+

2

x

)+3．…（8分）
∵x＞0，x+

2

x

≥2

x• 2 x

=2

2

．…（10分）
∴S=-(x+

2

x

)+3≤3-2

2

．
当且仅当x=

2

x

时，即当x=

2

时取“=”号．
答：当x=

2

时，△ADP的最大面积为3-2

2

．…（12分）

点评：本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，基本不等式的应用，其中根据已知条件求出△ADP的面积的表达式，将问题转化为利用基本不等式求最值问题，是解答本题的关键．