题目内容
如图，设矩形ABCD（AB＞AD）的周长为24，把它关于AC折起来，AB折过去后，交DC于P，设AB=x，（1）用x来表示△ADP的面积
（2）求△ADP面积的最大值．
分析：（1）在三角形ADP中利用勾股定理可求出DP，从而可得△ADP的面积的表达式，注意定义域；
（2）由基本不等式可直接求出△ADP的最大面积及相应的x的值，注意等号成立的条件．
（2）由基本不等式可直接求出△ADP的最大面积及相应的x的值，注意等号成立的条件．
解答：解：（1）∵AB=x，∴AD=12-x，
∵∠PCA=∠BAC=∠PAC，
∴PC=PA，DP=PB'，AP=AB'-PB'=AB-DP=x-DP，
由勾股定理得（12-x）2+DP2=（x-DP）2，得DP=12-
，
∴△ADP的面积S=
AD•DP=
(12-x)•(12-
)=108-(6x+
)，
即 S=108-(6x+
)（6＜x＜12）；
（2）由（1）知S=108-(6x+
)，
∵x＞0，∴6x+
≥2
=72
，
∴S=108-(6x+
)≤108-72
．
当且仅当6x=
时，即当x=6
时，S有最大值108-72
．
∵∠PCA=∠BAC=∠PAC，
∴PC=PA，DP=PB'，AP=AB'-PB'=AB-DP=x-DP，
由勾股定理得（12-x）2+DP2=（x-DP）2，得DP=12-
| 72 |
| x |
∴△ADP的面积S=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 72 |
| x |
| 432 |
| x |
即 S=108-(6x+
| 432 |
| x |
（2）由（1）知S=108-(6x+
| 432 |
| x |
∵x＞0，∴6x+
| 432 |
| x |
6x•
|
| 2 |
∴S=108-(6x+
| 432 |
| x |
| 2 |
当且仅当6x=
| 432 |
| x |
| 2 |
| 2 |
点评：本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，基本不等式的应用，其中根据已知条件求出△ADP的面积的表达式，将问题转化为利用基本不等式求最值问题，是解答本题的关键．属于中档题．
练习册系列答案
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