Question

△ABC的三边长分别为3、4、5，P为平面ABC外一点，它到其三边的距离都等于2，且P在平面ABC上的射影O位于△ABC的内部，则PO等于（　　）

• A．1
• B．

  2

• C．

  3

  2

• D．

  3

Answer 1

分析：如图所示，由P为平面ABC外一点，它到其三边的距离都等于2，可得点P在平面ABC上的射影O是三角形ABC的内心，由△ABC的三边长分别为3、4、5可求出直角△ABC的内切圆的半径，进而可得到答案．

解答：解：如图所示，PD、PE、PF分别表示点P到三条边的距离，由题意可得PD=PE=PF=2，
在RT△POD，RT△POE，RT△POF中，PO公用，由勾股定理可得OD=OE=OF，
∴射影O应为△ABC的内心．
设OD=r，在Rt△ABC中，根据面积可得

1

2

×3×4=

1

2

r×(3+4+5)，解得r=1．
在RT△POD，PO=

PD2-OD2

=

22-12

=

3

．
故选D．

点评：本题考查了三棱锥的顶点满足一定条件时在底面上的射影问题，充分利用线面垂直和勾股定理及三角形的面积公式是解决问题的关键．