Question

（本小题满分12分）已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都是1.

（1）求曲线C的方程；

（2）设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于点P，且与曲线C相交于A、B两点的直线，且，问：是否存在上述直线l使成立？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由.

Answer 1

解：（Ⅰ）设M（x，y）是曲线C上任意一点，那么点M（x，y）满足

化简，得y²=4x(x＞0). ………………………………………………………………………3分

注：（1）未写x＞0的不扣分；

（2）由抛物线的定义直接得方程，只要设出方程y²=2px.说明p=2，也可得3分.

（Ⅱ）设A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）.

假设使成立的直线l存在.

①当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m,

由l与n垂直相交于P点且得

   ①……………………………………………………………4分

…………………………………………………………5分

             

              =1+0+0-1=0，即x₁x₂+ y₁y₂=0. ……………………………………………………6分

将y=kx+m代入方程y²=4x,得k²x²+(2km-4)x+m²=0. ………………………………………7分

∵l与C有两个交点，∴k≠0,

    ②

∴x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+(kx₁+m) (kx₂+m)

=（1+k²）x₁x₂+km (x₁+x₂)+ m²=0.      ③……………………………………………8分

将②代入③得

化简，得m²+4km=0. ……………………………………………………………………9分

 ∴m≠0  ①  ∴m+4k=0   ④

由①、④得…………………………………………………10分

得存在两条直线l满足条件，其方程为：

②当l垂直于x轴时，则n为x轴，P点坐标为（1，0），A（1，2），B（1，-2）.

综上，符合题意的直线l有两条：………12分

注：第Ⅱ问设l的方程为x=ly+m，联立y²=4x建立y的一元二次方程更简单，且不需讨论.