Question

若函数f（x）=x²+（2m-1）x+m在区间[-1，1]内有零点，则m的取值范围是

m≥2或m≤1-

3

2

．

Answer 1

分析：当f（x）在[-1，1]上有一个零点时，求出m的值．当f（x）在[-1，1]上有两个零点时，求出m的取值范围，再取并集即得所求．

解答：解：由于f（x）=x²+（2m-1）x+m=x²-x+m（2x-1），故它的图象一定过点（

1

2

，

3

4

），
当f（x）在[-1，1]上有一个零点时，
此时①

△=(2m-1)2-4m=0 -1≤ 1-2m 2 ≤1

，或 ②f（-1）≤0或f（1）≤0成立．
解①得 m=1-

3

2

，解②得 m＜0或m≥2．
当f（x）在[-1，1]上有两个零点时，此时

△=(2m-1)2-4m＞0 -1≤ 1-2m 2 ≤1 f(1)≥0 f( 1-2m 2 )＜0

，解得0≤m＜1-

3

2

，
综上可得，实数m的取值范围：m≥2或m≤1-

3

2

．

点评：本题考查二次函数与方程之间的关系，二次函数在给定区间上的零点问题，要注意函数图象与x轴相切的情况，属于中档题．