Question

当a为何值时,直线l₁:(a+2)x+(1-a)y-1=0与直线l₂:(a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直?

Answer 1

思路分析一：分类讨论,利用直线垂直的充要条件进行求解.

解：由题意,直线l₁⊥l₂.

(1)若1-a=0,即a=1,

此时l₁:3x-1=0，直线l₂：5y+2=0,显见l₁与l₂垂直.

(2)若2a+3=0,即a=-时,

直线l₁:x+5y-2=0与直线l₂:5x-4=0不?垂直.

(3)若1-a≠0,且2a+3≠0,则直线l₁、l₂的斜率k₁、k₂存在.

k₁=-,k₂=-.

当l₁⊥l₂时,k₁·k₂=-1,

即(-)·(-)=-1.∴a=-1.

综上,可知当a=1或a=-1时,直线l₁⊥l₂.

思路分析二：利用结论“直线l₁和l₂的方程分别是l₁:A₁x+B₁y+C₁=0,l₂:A₂x+B₂y+C₂=0,则直线l₁⊥l₂的充要条件是A₁A₂+B₁B₂=0”解题.

解：由于直线l₁⊥l₂,

所以(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0.

解得a=±1.

故a=1或a=-1时,直线l₁⊥l₂.