Question

已知圆C：x²+y²-4x+2y+1=0，直线l：y=kx-1．
（1）当k为何值时直线l过圆心；
（2）是否存在直线l与圆C交于A，B两点，且△ABC的面积为2？如果存在，求出直线l的方程，如果不存在，请说明理由；
（3）设P（x，y）为圆C上一动点，求的最值．

Answer 1

解：（1）圆C：x²+y²-4x+2y+1=0，圆心坐标为：（2，-1），半径为2，所以-1=2k-1，所以k=0时直线l过圆心；
（2）存在直线l与圆C交于A，B两点，且△ABC的面积为2，此时，所以AC⊥BC，则圆心到直线的距离为：，=
解得k=±1，直线l的方程为：y=±x-1．
（3）如图P（x，y）为圆C上一动点，求的最值，就是圆上的点与（-1，-3）连线的斜率的范围，
显然设，所以，解得k=0，k=；最小值为：0；最大值为：．

分析：（1）求出圆的圆心坐标，代入直线方程，即可求出k的值，此时直线l过圆心；
（2）△ABC的面积为2，必须AC⊥BC，求出圆心到直线的距离为：，然后求出k的值即可求出直线方程；
（3）设P（x，y）为圆C上一动点，求的最值，就是圆上的点与（-1，-3）连线的斜率的范围，如图，求解即可．
点评：本题是中档题，考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离的应用，考查计算能力，数形结合的思想，转化思想．