Question

如图在直角梯形ABCD中，AD=3，AB=4，BC=

3

，曲线DE上任一点到A、B两点距离之和为常数．
（1）建立适当的坐标系，求曲线DE的方程；
（2）过C点作一条与曲线DE相交且以C为中点的弦，求出弦所在直线的方程．

Answer 1

分析：（1）由题意，先建立平面直角坐标系，利用曲线的方程这一概念求其动点的轨迹方程，要注意求解方程之后要有题意去掉不符合题意的点；
（2）设出直线方程，联立椭圆方程，结合方程的根与系数关系及中点坐标公式可求斜率k，进而可求直线方程

解答：解：（1）以直线AB为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系，
则A（-2，0），B（2，0），C（2，

3

），D（-2，3）．
依题意，曲线段DE是以A、B为焦点的椭圆的一部分．
∵a=

1

2

(|AD|+|BD|)=4，c=2，b2=12，
∴所求方程为

x2

16

+

y2

12

=1(-2≤x≤4，0≤y≤2

3

)．
（2）设直线方程y-

3

=k（x-2），即y=k（x-2）+

3

，将其代入

x2

16

+

y2

12

=1
得(3+4k2)x2+(8

3

k-16k2)x+16k2-16

3

k-36=0
设弦的端点为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则由

x1+x2

2

=2，知x₁+x₂=4，
∴-

8 3 k-16k2

3+4k2

=4，解得k=-

3

2

．
∴弦MN所在直线方程为y=-

3

2

x+2

3

，验证得知，这时M(0，2

3

)，N(4，0)适合条件．
故这样的直线存在，其方程为y=-

3

2

x+2

3

．

点评：（1）考查了利用曲线的方程这一概念，先建立平面直角坐标系，然后利用定义法求其动点的轨迹方程，但要注意去掉不符合条件的点
（2）本题主要考查了直线与椭圆相交关系的应用，方程的根与系数关系及中点坐标公式的应用，要注意”设而不求“方法的应用．