Question

已知函数f（x）=m（x+

1

x

）的图象与h（x）=（x+

1

x

）+2的图象关于点A（0，1）对称．
（1）求m的值；
（2）若g（x）=f（x）+

a

4x

在（0，2]上是减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）设P（x，y）是h（x）图象上一点，点P关于A（0，1）的对称点为Q（x₀，y₀），则x₀=-x，y₀=2-y．
∴2-y=m，∴y=m+2，从而m=

1

4

．
（2）g（x）=

1

4

（x+

1

x

）+

a

4x

=

1

4

（x+

a+1

x

）．
设0＜x₁＜x₂≤2，
则g（x₁）-g（x₂）=

1

4

（x1+

a+1

x1

）-

1

4

（x2+

a+1

x2

）
=

1

4

（x₁-x₂）+

1

4

（a+1）•

x2-x1

x1x2

=

1

4

（x₁-x₂）•

x1x2-(a+1)

x1x2

＞0，
并且在x₁，x₂∈（0，2]上恒成立，
∴x₁x₂-（a+1）＜0，
∴1+a＞x₁x₂，1+a≥4，∴a≥3．