Question

3．如图，已知正六边形ABCDEF中，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{b}$，试用$\overrightarrow{a}、\overrightarrow{b}$表示向量$\overrightarrow{CD}$和$\overrightarrow{EF}$．

Answer 1

分析 根据向量加法及减法的几何意义便可得到$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{b}=2\overrightarrow{BC}}\\{\overrightarrow{a}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}}\end{array}\right.$，这两式相加便可得到$\overrightarrow{BC}=\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{3}$，从而由$\overrightarrow{EF}=-\overrightarrow{BC}$及$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BC}$即可用$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$表示出$\overrightarrow{CD}$和$\overrightarrow{EF}$．

解答 解：$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{b}=2\overrightarrow{BC}$①；
$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$②；
∴①+②得，$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=3\overrightarrow{BC}$；
∴$\overrightarrow{BC}=\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{3}$；
∴$\overrightarrow{EF}=-\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{3}$，$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}-\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{3}=\frac{2}{3}\overrightarrow{b}-\frac{1}{3}\overrightarrow{a}$．

点评 考查向量加法、减法的几何意义，向量数乘的几何意义，以及向量减法和数乘的运算．